6.2. Геометрия винтовых компрессоров

Теоретический расчет профиля ротора. Выбор профилей обоих роторов должен быть таков, чтобы профиль винта на обоих роторах обеспечивал бы плотность как в сечении, нормальном к осям роторов, так и в осевом сечении. Одновременно должна быть обеспечена плотность вершин зубьев в цилиндре и торцов роторов. Степень повышения давления в компрессоре определяется расположением и размерами всасывающего и нагнетательного окоп. Окна должны быть размещены таким образом, чтобы после отделения пространства между зубьями от всасывающего окна до соединения этого пространства с нагнетательным окном произошло бы такое изменение объема пространства между зубьями, которое бы соответствовало требуемому повышению давления.

Сравнительно несложно осуществить уплотнение по вершинам зубьев и по торцам роторов. Более сложно обеспечить уплотнение между зубьями. Для этого необходимо теоретически определить наиболее выгодный профиль зуба и выбрать технологию обработки для более точного осуществления этого профиля.

Шаг зубьев неизменен по длине ротора. Поэтому можно заменить задачу решения пространственного профиля на решение плоского профиля. По выбранному профилю одного ротора аналитически определяется примыкающий профиль другого ротора.

За время более чем тридцатилетнего производства винтовых компрессоров были исследованы различные зубья – симметричного и асимметричного профиля, зубья с циклоидальным и с круговым профилем, корригированные и некорригированные. Одно из главных требований мри выборе профиля зуба – обеспечение минимальной полости, образующей мертвое пространство.

Многие известные фирмы, изготовляющие винтовые компрессоры, выпускают их с роторами, имеющими зубья кругового симметричного профиля, а именно с цевочным зацеплением. Цевочное зацепление – это такое зацепление, у которого окружность, составляющая профиль зуба, имеет центр на делительной окружности колеса. Круговой профиль теоретически не является наиболее выгодным, так как при этом получается малое сечение впадины и значительно ослабляется зуб ведомого ротора. Однако этот профиль позволяет выполнить точную обработку зуба, и компрессор поэтому работает с малыми зазорами, что очень важно для достижения хорошей плотности. При аналитическом построении сопряженного профиля ведомого ротора по заданному профилю зуба ведущего ротора следует выбрать четыре системы декартовых координат, из которых две вращающиеся, а две другие неподвижные (рис. 62).

Первая вращающаяся система имеет начало координат в точке – на оси вращения в центре сечения ведущего ротора и вращается вместе с ротором.

Вторая вращающаяся система соединена с ведомым ротором и имеет начало координат в точке , расположенной на оси вращения ведомого ротора.

Первая неподвижная система координат имеет начало в точке а ось является продолжением прямой, соединяющей центры роторов . Вторая неподвижная система координат имеет начало в точке , а ось совмещена с прямой, соединяющей центры .

Пусть ведущий ротор имеет профиль зуба, образованный окружностью радиусом r с центром в точке S, расположенной на делительной окружности ротора. Для профиля будут справедливы уравнения:

(42)

где – радиус делительной окружности ведущего ротора; ψ – угол между осью и радиусом профиля, проведённым из ископаемой точки.

Уравнение сопряжённого профиля найдём, переведя уравнение (42) в систему поворотных координат :

(43)

где – расстояние между осями роторов; – передаточное отношение; – угол поворота осей системы относительно осей системы ; – угол поворота системы относительно осей системы ; .

Уравнения (43) содержат два параметра: ψ – характеризующий профиль зуба и – угол поворота ведущего ротора.

Для определения связи между этими параметрами составим детерминант

Дифференцируя уравнение (43) по , получим

Подставив значения и из уравнений (43) в только что приведенные уравнения, получим

(44)

Продифференцировав уравнение (43) по ψ, получим

(45)

Подставив частные производные в детерминант, имеем

Подставив в это уравнение

получим

а подставив значения и из уравнений (43), получаем

(46)

или

(47)

Уравнение (47) показывает зависимость между обоими параметрами профиля.

При данном параметре по нему можно найти параметр ψ.

Для уравнение (47) превратилось в тождество, а уравнения (43) примут вид

(48)

Уравнения (42) и (48) – это уравнения одинаковых окружностей в различных системах координат или цевочному профилю зуба ведущего ротора соответствует впадина кругового профиля на ведомом роторе того же радиуса, что и радиус зуба ведущего ротора. Указанное справедливо для части профиля на дуге (рис. 63).

Как видно из рис. 63, зуб ведущего ротора выступает над делительной окружностью, т. е. имеет только головку, в то время как зуб ведомого ротора образуется только ножкой.

Участкам и цевочного профиля на ведущем роторе должны соответствовать на сопряженном профиле ведомого ротора точки возврата и петли, которые практически невыполнимы при изготовлении зуба. Поэтому чаще всего дуги окружности и заменяются эпициклиоидами, описанными точками b и с, лежащими на делительной окружности ведомого ротора. Крайне желательно, чтобы был осуществлен плавный переход от эпициклоиды к дуге окружности на профиле ведущего ротора.

Переход от вращающейся системы координат к системе неподвижных координат может быть осуществлен с помощью следующих формул связи:

Подставив значения , из уравнений (43), после преобразований получим координаты кривой в неподвижной системе координат, которые являются координатами кривой зацепления:

(49)

Поскольку уравнения (49) были выведены из уравнений (43), определим связь между обоими параметрами, пользуясь детерминантом, составленным из уравнений (44) и (45):

После подстановки получим

(50)

Уравнение (50) соответствует уравнению (47). Оба уравнения пригодны только при . В этом случае уравнения (49) получат вид

(51)

и будут полностью совпадать с уравнениями (42).

Это означает, что линия зацепления цевочного зубчатого профиля тождественна круговым дугам, образующим профиль в неподвижной системе координат .

Полное зацепление цевочного профиля в плоскости наступит только в момент совпадения оси зуба с прямой, соединяющей центры обоих роторов, и происходит по всей дуге зуба ведущего ротора, зашедшего в выемку ведомого ротора.

Профили роторов, изготовленные по описанному выше способу, имеют некоторые недостатки, как, например, острые грани у ведомого ротора и сложный профиль инструмента для нарезки витков. Достоинством цевочного профиля является значительное уменьшение нагрузки синхронизирующих шестерен (они передают только около 5% мощности компрессора), а недостатком – малое рабочее пространство между зубьями, что приводит к увеличению размеров компрессора.

Помимо зубьев кругового профиля применяются зубья циклоидального профиля симметричной и асимметричной формы. Преобладают случаи, когда основной окружностью (на которой расположено основание пяты зуба) является делительная окружность. Профиль зуба может быть образован эпициклоидой или гипоциклоидой.

На рис. 64 показан симметричный зуб с профилем зуба ведущего ротора, образованным эпициклоидой описанной точкой С, лежащей на делительной окружности радиусом при ее качении по окружности радиусом . Головка зуба ограничена окружностью радиусом . Эта часть окружности между точками является кривой зацепления. Продолжением профиля является дуга окружности. Профиль ведомого ротора ограничен удлиненной эпициклоидой CD, описанной точкой b при качении окружности радиусом по окружности радиусом . Другими частями профиля ротора является дуга окружности радиуса и дуга СЕ, соответствующая по длине дуге . Боковые поверхности зубьев и симметричны относительно оси боковым поверхностям зубьев ab и соответственно .

Преимуществом указанной пары профилей является возможность получения плотности в осевом направлении. Границы головок зубьев ведущего ротора и ножек зубьев ведомого ротора образуют точно выполнимые окружности.

Одним из основных недостатков этих профилей являются острия на наружном диаметре ведомого ротора. Корригированием зубьев за счет образования головок на зубьях ведомого ротора и углублением ножек зуба ведущего ротора можно устранить нежелательные грани, но при этом между зубьями возникает осевой зазор.

Помимо зубьев симметричного профиля в винтовых компрессорах применяются зубья асимметричного профиля (рис. 65). Передняя сторона такого профиля (по направлению вращения) у ведущего ротора во многих случаях состоит из дуги эпициклоиды, описанной точкой ведомого ротора B при качении окружности радиуса по окружности радиуса и дуги bc окружности, образующей односторонний цевочный профиль. Задняя сторона профиля зуба ведущего ротора представляет собой эпициклоиду , описанную точкой D ведомого ротора при качении его делительной окружности по делительной окружности профиля зуба ведущего ротора.

На ведомом роторе на участке профиль зуба образуется дугой окружности, а на участке – удлиненный эпициклоидой, описанной точкой с ведущего ротора при качении окружности радиуса по окружности радиуса .

Линии зацепления обоих профилей в плоскости чертежа представляют собой дуги окружностей .

Корригирование профиля. Для устранения недостатков профиля во многих случаях проводится коррекция таким образом, что зубья ведомого ротора имеют малые головки, а зубья ведущего ротора малые ножки. На рис. 66 в нижней части показан профиль ведомою ротора с головкой зуба цевочного профиля с углублениями на ведущем роторе соответствующего профиля. В верхней части рисунка показан другой вариант коррекции. На головках зубьев ведомого ротора оставлены узкие цилиндрические полосы и переходы между ними и боковыми поверхностями закруглены радиусом .

У ножки зуба ведущего ротора имеются соответствующие углубления. Теоретически более правильно, если, по крайней мере, часть профиля зуба ведомого ротора имеет эпициклоидальный профиль, однако отклонение кривых одной от другой столь мало, что обычный зазор между роторами достаточен для предотвращения соприкосновения роторов.

Высота головки зуба ведомого ротора (разность радиусов наружной и делительной окружностей) у крупных компрессоров равна

где – диаметр делительной окружности.

Для более полного использования объема цилиндра компрессора желательно принимать высоту головки зуба ведущего ротора максимальной ( – разность радиусов делительной окружности и окружности впадин ведущего ротора). Верхняя граница высоты определяется как числом зубьев, так и прочностью зубьев ведомого ротора. Максимальное значение высоты .

Углы закрутки обоих роторов. Помимо соответствующих профилей необходимо, чтобы зубья роторов имели взаимно соответствующие углы закрутки (рис. 67).

Обозначив через подъем витка ведущего ротора, получим параметр, характеризующий закрутку ведущего ротора:

Он представляет собой осевое расстояние между торцовыми сечениями, повернутыми одно относительно другого на угол, равный одному радиану. По аналогии будет справедливо для ведомого ротора

Задние торцы роторов повернуты относительно передних при длине ротора L на углы и , которые называются углами закрутки.

Для взаимного зацепления роторов будет справедливо

(52)

где и – число зубьев соответственно ведущего и ведомого роторов.

Небольшое число зубьев положительно сказывается на объеме пространства между зубьями, но при этом снижается сопротивление ротора изгибу и увеличиваются потери от неплотностей. Для газодувок и вакуум-насосов обычно принимаются числа зубьев 3–4 (соответственно для ведущего и ведомого роторов), для компрессоров чаще всего 4–6 зубьев. Большее число зубьев при уменьшенном прогибе позволяет снизить необходимый зазор и дает более равномерное нагнетание сжатого газа.

Бели обозначим угол подъема винтовой линии β, в точке на радиусе r получим

(53)

т. е. тангенс угла подъема обратно пропорционален радиусу рассматриваемой точки.

Для точки соприкосновения двух винтовых роторов справедливо выражение

где и – подъем витков ведущего и ведомого роторов; и – скорость вращения соответствующего ротора;

(54)

где – передаточное отношение.

Для точек на цилиндрических поверхностях, образуемых делительными окружностями, справедливо

Поскольку , то .

т. е. на цилиндрах, образуемых делительными окружностями, углы подъема винтовой линии обоих роторов равны.

Определение профилей входного и выходного окон в корпусе компрессора. Оба окна, всасывающее и нагнетательное, расположены на торцовых плоскостях, а нагнетательное также и на цилиндрических поверхностях. У одного торца ротора располагается всасывающее окно, у второго торца размещено нагнетательное окно. Грань, которой оканчивается всасывающее окно, сходна по своему профилю с передней частью профиля заднего зуба. Отсоединение пространства между зубьями от всасывающего патрубка должно наступить в момент начала сжатия. Положение передней грани нагнетательного окна, профиль которой должен соответствовать задней части профиля зуба, должно быть таково, чтобы окно соединялось с пространством между зубьями в момент, когда давление в этом пространстве достигнет расчетного.

Всасывающее окно. Для конструирования всасывающего и нагнетательного окон важно знать угол α начала всасывания и угол θ закрутки витков ротора. Для ведущего ротора угол определяется положением, при котором зуб ведомого ротора начинает входить в пространство между зубьями ведущего, т. е. когда начинается «зацепление» зуба ведущего ротора с зубом ведомого (рис.68).

К углу начала «зацепления» добавляется угол между зубьями, отсюда имеем

Для ведомого ротора справедливо (см. рис. 68)

Если плоскость, проходящая через грань H и ось образует с плоскостью осей угол , то угол закрутки витков

Угол закрутки витков ведомого ротора определяется из уравнения (52).

В некоторых конструкциях для выравнивания давления перед сжатием в рабочих полостях в месте соприкосновения обоих цилиндров делают канал (см. рис. 68), перекрываемый перед началом сжатия цилиндрической поверхностью зуба ведомого ротора.

При описанном методе границы всасывающего окна определялись из предположения, что давление в пространстве между зубьями равно давлению во всасывающем патрубке. В действительности вследствие аэродинамических потерь давление в пространстве между зубьями ниже. Его можно несколько повысить более поздним отсоединением пространства между зубьями от всасывающего окна, т. е. поворотом грани, ограничивающей всасывающее окно, в направлении вращения ротора. Когда грань окна (рис. 69) повернется на угол , «зацепление» обоих роторов произойдет только на длине , а уменьшение объема пространства между зубьями не составит, как правило, и 1%. Увеличение времени всасывания даст лучшее наполнение пространства между зубьями. В этом пространстве произойдет также повышение давления относительно давления во всасывающем патрубке за счет перехода кинетической энергии потока газа в трубопроводе в энергию давления. Отсечка пространства между зубьями от всасывающей полости должна осуществляться только после соединения межзубчатых пространств обоих роторов, чтобы не было потерь при соединении пространств, содержащих газ, с различными давлениями.

Угол при котором произойдет соединение пространств между зубьями обоих роторов, определяется из уравнения (см. рис. 69)

Угол закрутки витка ведущего ротора будет

и ведомого ротора

Выбором угла дастся также ограничение всасывающего окна гранью (см. рис. 69), соответствующей передней стороне зуба на торце ротора против всасывающего окна. После небольшого закругления окна по граница всасывающего окна проходит по окружности оснований зубьев ротора до точки d, где имеет место закругление до точки е, после которой грань окна вновь следует по профилю передней стороны зуба, который имеет в этом случае головку на линии центров .

Дальнейшим закруглением грань окна переходит па окружность оснований зубьев ведомого ротора и проходит по ней до точки h, из которой закругление перейдет на грань, соответствующую передней стороне профиля зуба ведомого ротора. Положение зубьев определим из условия, что пространство между зубьями должно быть замкнуто на переднем и на заднем торцах одновременно. На заднем торце это произойдет при переходе головки зуба через грань соединяющую оба цилиндра; на переднем торце по отношению к всасывающему окну зуб будет повернут на угол по направлению, противоположному вращению ротора. После дуги , соответствующей профилю зуба, грань окна перейдет через закругление на окружность вершин зубьев и отойдет от нее только в точке l и через небольшое закругление перейдет на окружность головок зубьев ведущего ротора в точке m. От этой точки и до точки a грань всасывающего окна проходит по окружности головок зубьев.

Для лучшей аэродинамики потока на всасывании на поверхностях цилиндров по контуру входного окна предусматриваются скосы. Для этой же цели служит закругление граней всасывающего окна на стороне входа.

Нагнетательное окно. Тогда как для всасывающего окна ограничивающая грань следует передней части профиля заднего зуба, у нагнетательного окна она соответствует задней части профиля переднего зуба в момент, когда давление в пространстве между зубьями достигло давления нагнетания. На рис. 70,а показано нагнетательное окно в поперечном и горизонтальном сечениях.

При угле, который образуется радиусом, проходящим через вершину a переднего зуба, и линией центров в момент конца сжатия, задняя часть профиля зуба определяет грань нагнетательного окна.

В этот же момент передний зуб ведомого ротора определяет своей задней частью профиля ограничивающую окно линию на другой стороне нагнетательного окна. На цилиндрических поверхностях следуют грани окна и по винтообразной линии вершин обоих зубьев. На контуре нагнетательного окна образован выступ в форме языка, ограниченного дугами и , который закрывает щель, возникающую из-за разрыва линии контактирования в конце периода нагнетания. Эта щель при отсутствии выступа соединила бы полость нагнетания с полостью всасывания. Дуги и являются частями окружности вершин зубьев. Грань образуется при срезании по технологическим соображениям заостренной части выступа. Дуги и являются частями окружностей вершин зубьев; дуги – закругления.

Поскольку в цевочных зубьях линия контактирования не разрывается, при использовании зубьев указанного профиля необходимость в языке отпадает. Грани нагнетательного окна и торцовые грани зубьев имеют закругления, но меньшего радиуса, чем на стороне всасывания. Закругление большего радиуса желательно иметь между окружностью головок зубьев и задней боковой поверхностью зубьев ведомого ротора, поскольку при этом значительно снижаются аэродинамические потери. Недостатком нагнетательных окоп, часть которых расположена на боковой поверхности корпуса (при проекции на плоскость осей обоих роторов эта часть имеет форму треугольника), является то, что резкое соединение пространства между зубьями с нагнетательным патрубком в случае неравенства давлений в пространстве между зубьями и в нагнетательном патрубке создает удар, сопровождаемый шумом- Если нагнетательное окно имеет круглый профиль (см. рис. 70,б), оба пространства плавно соединяются и за счет дросселирования газа пульсация потока уменьшается.

Сжатие в винтовом компрессоре. Начало сжатия в винтовом компрессоре наступает в момент, когда зуб ведомого ротора начинает входить в пространство между зубьями ведущего ротора (см. рис. 68).

Зависимость объема двух смыкающихся пространств между зубьями от угла поворота φ ведущего ротора приведена на рис. 71. Обозначив площадь сечения пространства между зубьями ведущего и ведомого роторов соответственно и получим в начале сжатия объем газа

(55)

Уменьшение объема V в процессе сжатия и нагнетания можно разделить па три этапа. Первый этап, начинающийся при угле кончается при повороте ротора на угол , т. е. в момент, когда вершина зуба на торцовой плоскости повернется до плоскости осей и . Изменение объема V смыкающихся углублении между витками винтов обоих роторов представлен отрезком кривой с увеличивающимся наклоном. На втором этапе, находящемся между углами поворота и ведущего ротора, наступает равномерное уменьшение объема V и его уменьшение пропорционально углу . В третьем этапе, который наступает после поворота ротора на угол , объем уменьшается уже не равномерно; с увеличением угла поворота уменьшение объема замедляется. При достижении угла поворота пространство между зубьями V падает до нуля. Отрезки от 0 до и от до имеют равную длину, поскольку соответствуют равным углам . Поскольку поворот витков по всей длине ротора одинаков, начальная кривая симметрична кривой относительно середины bc. Поэтому справедливо, что . Уменьшение объема между углами и определяется уравнением

(56)

Для начального и конечного отрезков кривой справедливо

(57)

Перенесем ось абсцисс вверх на величину и продолжением отрезка bc до оси ординат получим точку пересечения с осью ординат

или

(58)

Из уравнения политропы

(59)

определим угол , при котором должно произойти соединение пространства между зубьями, в котором находится сжатый газ, с нагнетательным окном. Указанный способ определения угла однако справедлив при условии, что . В винтовых компрессорах, работающих без подачи масла в полость ротора и со степенью повышения давления , это условие выполняется.

Факторы, учитываемые при выборе угла :
а) мертвое пространство не влияет на процесс сжатия и поэтому не влияет на угол ;
б) сопротивление при течении газа на всасывании снижает давление всасывания и поэтому увеличивает угол при условии, если не происходит перенаполнения, вызванного пульсацией газа на всасывание;
в) в начале сжатия происходит нагревание газа от стенок, а при дальнейшем процессе сжатия и нагнетания газ охлаждается. Нагревание газа и охлаждение его в процессе сжатия в значительной степени взаимно компенсируются, так что в большинстве случаев нет необходимости их учитывать при определении утла ,
г) потери от неплотностей; в начале сжатия газ перетекает из полости нагнетания в полость сжатия и повышает в ней давление; далее с увеличением давления утечка сжатого газа из полости сжатия превысит перетечку в эту полость; утечка из полости сжатия будет максимальной в конце сжатия. Потери от неплотностей в процессе сжатия существенно не влияют на определение угла .

Экспериментальные данные, покатывающие количественное влияние упомянутых факторов, отсутствуют. Можно, однако, предположить, что эти влияния не являются значительными и их можно учесть, несколько увеличив угол , определенный из уравнения (59).